Estudo complementar (Retirado da Internet)

O que é um problema matemático?

1.- O valor dos problemas na Matemática A Matemática é a única ciência onde pouco valor se dá à erudição. O valor de um matemático é avaliado não pelo que ele sabe mas por sua capacidade de resolver problemas. E não é para menos: a Matemática vive de problemas. Infelizmente, a retórica da Resolução de Problemas virou um dos modismos do Sistema Escolar nos últimos anos. O resultado é o de se esperar: os oportunistas de plantão e os ingênuos despreparados conseguiram deturpar de tal modo o assunto que hoje podemos encontrar as atividades mais ridículas rotuladas como resolução de problemas matemáticos. Assim, que é necessário ouvirmos quem tem o real direito de falar sobre o assunto: os matemáticos produtores, os cientistas e técnicos usuários de matemática. 2.- Mas, e o que é um problema matemático? Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvé-lo, e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o resolvedor tenha de inventar estratégias e criar idéias; ou seja: pode até ocorrer que o resolvedor conheça o objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios para atingir tal objetivo. Resnick apontou várias características dos problemas que, bastante modificadas, resumimos assim: sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em boa parte complexos precisam de vários pontos de vista exigentes a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil exigem lucidêz e paciência para na aparente desordem vermos as regularidades, os padrões que permitirão a construção do caminho até a solução nebulosos pode ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as condições estabelecidas pelo problema não há resposta única além de normalmente ocorrer de existirem várias maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer de não existir uma melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do que a Escola ensina: resolver um problema não é o mesmo que achar "a" resposta 3.- A diferença entre problema e exercício O exercício é uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade / conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a aplicação de um algorítmo CONHECIDO, de uma fórmula CONHECIDA, etc. O exercício envolve mera aplicação e o problema necessariamente envolve invenção ou/e criação significativa. Exemplificando: Tomemos como "resolvedor" um aluno de final do primeiro grau ( é importante apontar a pessoa, pois o que pode ser um problema para uma pessoa, pode não o ser para outra ): exercício: resolver a equação x 2 - 3x + 1 = 0 ( supõe-se que tal aluno conheça a fórmula de Bhaskara ) problema: provar a fórmula de Bhaskara ( supõe-se que tal aluno nunca tenha visto tal demonstração, mas conheça a fórmula ) problema: ( mais difícil ) descobrir, provando, uma fórmula para resolver toda e qualquer equação algébrica do segundo grau ( supõe-se que tal aluno não conheça a fórmula de Bhaskara ) problema: ( mais difícil ) descobrir uma fórmula diferente da de Bhaskara e capaz de resolver toda e qualquer equação algébrica do segundo grau 4.- O que é um bom problema? Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros-texto elementares a inclusão de desafios matemáticos dirigidos ao leitor. Tipicamente não correspondem diretamente ao material em ensino e, assim, muitos pensam que tratam-se de problemas. Contudo, o mais adequado seria classificá-los como charadas ou quebra-cabeças, do tipo que apareciam no rodapé dos antigos almanaques, e que visam mais o entretenimento. Um bom problema matemático além de representar um desafio, tanto ao poder dos matemáticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" com a Matemática: faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que possamos resolver outros problemas. Um bom problema de matemática é muito mais do que uma charada. Um ótimo exemplo é o chamado Problema de Fermat: Sendo n = 3, 4, 5, ..., mostrar que NAO HA' nenhuma trinca de inteiros positivos x, y e z verificando a equação: x n + y n = z n enunciado mais simples é difícil achar, contudo esse problema precisou de quase 400 anos de esforços até ser resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua grandeza não está na dificuldade e também não está na utilidade desse resultado ( que é praticamente inexistente ); ela está no fato que as tentativas de resolvê-lo produziram idéias e problemas que fertilizam inúmeros campos: Teoria dos Números, Geometria Algébrica, etc. TESTE SEU ENTENDIMENTO DESTE TEXTO: TESTE Duas atividades matemáticas muito diferentes são a invenção de algoritmos e a aplicação de algoritmos. Pede-se: classificá-las como problema ou exercício achar exemplos dessas atividades no texto acima TESTE George Polya é autor dos mais famosos livros sobre resolução de problemas matemáticos, entre eles o How to Solve It. O texto abaixo é uma ligeira modificação de uma frase de Polya; pede-se uma palavra que se encaixe adequadamente no vazio assinalado com um ......... : se a tarefa desperta sua curiosidade, e e' um desafio para sua ........... e se V. a realiza por seus próprios meios então V. pode dizer que sentiu o prazer de resolver um problema TESTE A partir do que foi colocado neste texto, explique a razão de ocorrer que o que seja um problema para uma pessoa possa não ser para outra.
Como resolver problemas,    segundo G. Polya.

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas, é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão correspondesse à uma sequência de etapas a serem percorridas uma depois da outra, sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás funcionasse como uma poção mágica O texto que se segue foi elaborado a partir de um resumo de Peter Alfeld ( Department of Mathematics, University of Utah ) sobre o livro: G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957.

ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS 1).- ENTENDA O PROBLEMA: Primeiro, V. tem de entender o problema: Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições? É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias? Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada. Separe as condições em partes 2).- CONSTRUA UMA ESTRATEGIA DE RESOLUCAO Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema. Vale a pena expandirmos um pouco essas conselhos: V. já encontrou este problema ou algum parecido? V. conhece um problema semelhante? V. conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar? Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante Aqui está um problema relacionado com o seu e que V. já sabe resolver. V. consegue aproveitá-lo? V. pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos? V. consegue enunciar o problema de uma outra maneira? Se V. não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. V. consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? V. consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? V. consegue obter alguma coisa desde os dados? V. consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incóognita? V. consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos? V. está levando em conta todos os dados? E todas as condições? 3).- EXECUTE A ESTRATEGIA Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução. Execute a estratégia. Ao executar a estratégia, verifique cada passo. V. consegue mostrar claramente que cada um deles está correto? 4).- REVISE Examine a solução obtida. Verifique o resultado e o argumento V. pode obter a solução de um outro modo? Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, V. consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
A importância de revisar a resolução

1.- A revisão é a última etapa da resolução, segundo Polya Conforme vimos em texto anterior, Polya dividiu o processo de resolução de problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e revisão. Poderíamos dizer que Polya pretendia duas coisas nessa última etapa: uma depuração da resolução uma abstração da resolução Antes de passarmos a detalhes, observemos que na Escola existem ao menos caricaturas das três primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustação dos alunos, etc. 2.- Revise para depurar a resolução O objetivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la. Pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica generalizada aos matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais ou abstratas e que certamente não representam a maneira como o resultado em demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisao de depuração é muito proveitosa. 3.- Revise para abstrair a resolução Agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando descobrir a essência do problema e do método de resolução empregado. Tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do "poder de fogo" do resolvedor. Feito por matemático talentoso, esse trabalho de depuração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.
Níveis de capacidade de resolução de problemas

Introdução Mesmo que uma pessoa tenha extenso conhecimento de um certo assunto matemático, estando aí incluídos um extenso conhecimento de algorítmos e até mesmo de heurísticas, isso não é bastante para garantir que ela tenha uma capacidade minimal de resolver problemas sobre esse assunto. Em Matemática, diferentemente do que ocorre em muitas disciplinas, muito mais importante que erudição e treinamento são: uma intuição cultivada, capaz de fazer ressonar as informações dadas no problema com conhecimentos e experiências do resolvedor uma profundidade intelectual do resolvedor que seja capaz de relacionar itens conceitualmente e/ou proceduralmente muito distantes entre sí Em outras palavras: para uma dada pessoa, além de muito da sua capacidade de resolver problemas ser determinada genéticamente, a realização plena de seu potencial passa por uma orientação adequada e experiente. Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas M. G. Kantowski, em 1980, a partir de longas observações, dividiu o continuum das capacidades pessoais de resolução de problemas matemáticos em quatro estágios. Novamente, a dotação genética e a qualidade da orientação didática determinarão quão longe uma dada pessoa conseguirá ir nesse continuum. Ampliando os estágios de Kantowski para cinco, e usando nossa terminologia, teremos como estágios ou níveis de capacitação de resolvedor: inerte: a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja resolver um problema matemático; em particular, não é capaz de atinar por onde começar. O máximo que se consegue fazer nesse estágio é reproduzir procedimentos de resolução muito simples e que foram exaustivamente explicados e exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estágio está restrita ao mundo dos exercícios, e é necessário que esses sejam bastante exemplificados. imitador: com pouca explicação e exemplificação, torna-se capaz de fazer exercícios mas ainda não é capaz de resolver verdadeiros problemas; é capaz de participar produtivamente em grupos que estejam discutindo a resolução de problemas de tipo novo, contudo é incapaz de trabalhar sozinho capaz: atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser variantes relativamente simples de problemas que aprendeu ou já resolveu avançado: além de demonstrar uma capacidade superior de resolução, através da velocidade de resolução, da variedade e da maior complexidade dos problemas que é capaz de enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de conceber processos de resolução diferentes dos que tinha aprendido artista: a pessoa não só atingiu uma proficiência superior de inventar novos processos de resolução como preocupa-se em explorar caminhos alternativos, buscando resoluções mais elegantes ou poderosas  fonte:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu.html#topo