domingo, novembro 13, 2011

Estudo complementar (Retirado da Internet)

O que é um problema matemático?  


1.- O valor dos problemas na Matemática

A Matemática é a única ciência onde pouco valor se dá à erudição. O valor de um matemático é avaliado não pelo que ele sabe mas por sua capacidade de resolver problemas. E não é para menos: a Matemática vive de problemas.

Infelizmente, a retórica da Resolução de Problemas virou um dos modismos do Sistema Escolar nos últimos anos. O resultado é o de se esperar: os oportunistas de plantão e os ingênuos despreparados conseguiram deturpar de tal modo o assunto que hoje podemos encontrar as atividades mais ridículas rotuladas como resolução de problemas matemáticos. Assim, que é necessário ouvirmos quem tem o real direito de falar sobre o assunto: os matemáticos produtores, os cientistas e técnicos usuários de matemática.
2.- Mas, e o que é um problema matemático?

Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvé-lo, e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o resolvedor tenha de inventar estratégias e criar idéias; ou seja: pode até ocorrer que o resolvedor conheça o objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios para atingir tal objetivo.
Resnick apontou várias características dos problemas que, bastante modificadas, resumimos assim:
  • sem algoritmização:
    o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em boa parte
  • complexos
    precisam de vários pontos de vista
  • exigentes
    a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil
  • exigem lucidêz e paciência
    para na aparente desordem vermos as regularidades, os padrões que permitirão a construção do caminho até a solução
  • nebulosos
    pode ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as condições estabelecidas pelo problema
  • não há resposta única
    além de normalmente ocorrer de existirem várias maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer de não existir uma melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do que a Escola ensina:
resolver um problema não é o mesmo que achar "a" resposta

3.- A diferença entre problema e exercício

O exercício é uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade / conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a aplicação de um algorítmo CONHECIDO, de uma fórmula CONHECIDA, etc. O exercício envolve mera aplicação e o problema necessariamente envolve invenção ou/e criação significativa.

Exemplificando:
Tomemos como "resolvedor" um aluno de final do primeiro grau ( é importante apontar a pessoa, pois o que pode ser um problema para uma pessoa, pode não o ser para outra ):
    • exercício:
      resolver a equação x 2 - 3x + 1 = 0 ( supõe-se que tal aluno conheça a fórmula de Bhaskara )
    • problema:
      provar a fórmula de Bhaskara ( supõe-se que tal aluno nunca tenha visto tal demonstração, mas conheça a fórmula )
    • problema: ( mais difícil )
      descobrir, provando, uma fórmula para resolver toda e qualquer equação algébrica do segundo grau ( supõe-se que tal aluno não conheça a fórmula de Bhaskara )
    • problema: ( mais difícil )
      descobrir uma fórmula diferente da de Bhaskara e capaz de resolver toda e qualquer equação algébrica do segundo grau
4.- O que é um bom problema?

Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros-texto elementares a inclusão de desafios matemáticos dirigidos ao leitor. Tipicamente não correspondem diretamente ao material em ensino e, assim, muitos pensam que tratam-se de problemas. Contudo, o mais adequado seria classificá-los como charadas ou quebra-cabeças, do tipo que apareciam no rodapé dos antigos almanaques, e que visam mais o entretenimento. Um bom problema matemático além de representar um desafio, tanto ao poder dos matemáticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" com a Matemática: faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que possamos resolver outros problemas. Um bom problema de matemática é muito mais do que uma charada.

Um ótimo exemplo é o chamado Problema de Fermat:
Sendo n = 3, 4, 5, ...,
mostrar que NAO HA' nenhuma trinca de inteiros positivos x, y e z verificando a equação:
x n + y n = z n

enunciado mais simples é difícil achar, contudo esse problema precisou de quase 400 anos de esforços até ser resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua grandeza não está na dificuldade e também não está na utilidade desse resultado ( que é praticamente inexistente ); ela está no fato que as tentativas de resolvê-lo produziram idéias e problemas que fertilizam inúmeros campos: Teoria dos Números, Geometria Algébrica, etc.
TESTE SEU ENTENDIMENTO DESTE TEXTO:

TESTE
Duas atividades matemáticas muito diferentes são a invenção de algoritmos e a aplicação de algoritmos. Pede-se:
  • classificá-las como problema ou exercício
  • achar exemplos dessas atividades no texto acima

TESTE
George Polya é autor dos mais famosos livros sobre resolução de problemas matemáticos, entre eles o How to Solve It. O texto abaixo é uma ligeira modificação de uma frase de Polya; pede-se uma palavra que se encaixe adequadamente no vazio assinalado com um ......... :
se a tarefa desperta sua curiosidade, e e' um desafio para sua ........... e se V. a realiza por seus próprios meios então V. pode dizer que sentiu o prazer de resolver um problema

TESTE
A partir do que foi colocado neste texto, explique a razão de ocorrer que o que seja um problema para uma pessoa possa não ser para outra.
Como resolver problemas,
   segundo G. Polya.   





http://www.mat.ufrgs.br/%7Eportosil/volta.gif


Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas, é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão
  • correspondesse à uma sequência de etapas a serem percorridas uma depois da outra, sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás
  • funcionasse como uma poção mágica
O texto que se segue foi elaborado a partir de um resumo de Peter Alfeld ( Department of Mathematics, University of Utah ) sobre o livro: G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957.


ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS

  • 1).- ENTENDA O PROBLEMA:
    • Primeiro, V. tem de entender o problema:
    • Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?
    • É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?
    • Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.
    • Separe as condições em partes

  • 2).- CONSTRUA UMA ESTRATEGIA DE RESOLUCAO

    Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema.
    Vale a pena expandirmos um pouco essas conselhos:
    • V. já encontrou este problema ou algum parecido?
    • V. conhece um problema semelhante? V. conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
    • Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante
    • Aqui está um problema relacionado com o seu e que V. já sabe resolver. V. consegue aproveitá-lo? V. pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos?
    • V. consegue enunciar o problema de uma outra maneira?
    • Se V. não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. V. consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? V. consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? V. consegue obter alguma coisa desde os dados? V. consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incóognita? V. consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos?
    • V. está levando em conta todos os dados? E todas as condições?

  • 3).- EXECUTE A ESTRATEGIA

    Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução.
    • Execute a estratégia.
    • Ao executar a estratégia, verifique cada passo. V. consegue mostrar claramente que cada um deles está correto?

  • 4).- REVISE
    • Examine a solução obtida.
    • Verifique o resultado e o argumento
    • V. pode obter a solução de um outro modo?
    • Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, V. consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

  A importância de revisar a resolução   





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1.- A revisão é a última etapa da resolução, segundo Polya

Conforme vimos em texto anterior, Polya dividiu o processo de resolução de problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e revisão.
Poderíamos dizer que Polya pretendia duas coisas nessa última etapa:
  • uma depuração da resolução
  • uma abstração da resolução
Antes de passarmos a detalhes, observemos que na Escola existem ao menos caricaturas das três primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustação dos alunos, etc.
2.- Revise para depurar a resolução

O objetivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la. Pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor.
Há uma crítica generalizada aos matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais ou abstratas e que certamente não representam a maneira como o resultado em demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisao de depuração é muito proveitosa.
3.- Revise para abstrair a resolução

Agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando descobrir a essência do problema e do método de resolução empregado. Tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do "poder de fogo" do resolvedor.
Feito por matemático talentoso, esse trabalho de depuração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.

Níveis de capacidade de resolução de problemas   





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Introdução

Mesmo que uma pessoa tenha extenso conhecimento de um certo assunto matemático, estando aí incluídos um extenso conhecimento de algorítmos e até mesmo de heurísticas, isso não é bastante para garantir que ela tenha uma capacidade minimal de resolver problemas sobre esse assunto.

Em Matemática, diferentemente do que ocorre em muitas disciplinas, muito mais importante que erudição e treinamento são:
  • uma intuição cultivada, capaz de fazer ressonar as informações dadas no problema com conhecimentos e experiências do resolvedor
  • uma profundidade intelectual do resolvedor que seja capaz de relacionar itens conceitualmente e/ou proceduralmente muito distantes entre sí

Em outras palavras: para uma dada pessoa, além de muito da sua capacidade de resolver problemas ser determinada genéticamente, a realização plena de seu potencial passa por uma orientação adequada e experiente.
Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas

M. G. Kantowski, em 1980, a partir de longas observações, dividiu o continuum das capacidades pessoais de resolução de problemas matemáticos em quatro estágios. Novamente, a dotação genética e a qualidade da orientação didática determinarão quão longe uma dada pessoa conseguirá ir nesse continuum.
Ampliando os estágios de Kantowski para cinco, e usando nossa terminologia, teremos como estágios ou níveis de capacitação de resolvedor:
  • inerte:
    a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja resolver um problema matemático; em particular, não é capaz de atinar por onde começar. O máximo que se consegue fazer nesse estágio é reproduzir procedimentos de resolução muito simples e que foram exaustivamente explicados e exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estágio está restrita ao mundo dos exercícios, e é necessário que esses sejam bastante exemplificados.
  • imitador:
    com pouca explicação e exemplificação, torna-se capaz de fazer exercícios mas ainda não é capaz de resolver verdadeiros problemas; é capaz de participar produtivamente em grupos que estejam discutindo a resolução de problemas de tipo novo, contudo é incapaz de trabalhar sozinho
  • capaz:
    atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser variantes relativamente simples de problemas que aprendeu ou já resolveu
  • avançado:
    além de demonstrar uma capacidade superior de resolução, através da velocidade de resolução, da variedade e da maior complexidade dos problemas que é capaz de enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de conceber processos de resolução diferentes dos que tinha aprendido
  • artista:
    a pessoa não só atingiu uma proficiência superior de inventar novos processos de resolução como preocupa-se em explorar caminhos alternativos, buscando resoluções mais elegantes ou poderosas 
fonte:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu.html#topo

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