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domingo, outubro 02, 2011

RESUMO: FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA


PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 01 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Resumo elaborado por Raquel Maschetti


Reflexão inicial:
O que é um problema?
Por que a resolução de problemas é tão importante para o ensino da matemática?

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
A história mostra que a evolução da matemática se deu pela necessidade de solucionar problemas.

“..o verdadeiro prazer em estudar matemática é o sentimento de alegria que vem da resolução de um problema, quanto mais difícil um problema, maior a resolução...” Thomas Butts.

Resolver problemas favorece o desenvolvimento de estratégias que se aplicam em outras situações.

ü  Cuidado para não condicionar os alunos a apenas um tipo de problema, o professor deve propor aos alunos vários tipos de problemas, não valorizando apenas as respostas numéricas.

A resolução de problemas deve ser o ponto central da atenção do professor, ser o ponto chave, para o desenvolvimento dos conteúdos curriculares.

OBJETIVOS A SEREM ALCANÇADOS AO USAR MATEMÁTICA:

ü  Aprender a raciocinar matematicamente,
ü  Formular hipóteses e argumentar a validez de uma hipótese.

OS PROBLEMAS FAVORECEM OS ALUNOS EM MUITAS COISAS:

1.    Investigar e compreender os conteúdos matemáticos.
2.    Desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos.
3.    Relacionar a matemática com situações cotidianas.
4.    Ver a matemática de forma atraente e desafiadora.
5.    Valorizar a matemática.
6.    Sentir-se seguro em fazer matemática.
7.    Comunicar-se mediante a matemática.
8.    Aprender a raciocinar matematicamente.
9.    Formular hipóteses e argumentar a validez de uma hipótese.
Outra questão importante e a segurança.

CLASSIFICAÇÃO DE QUESTÕES MATEMÁTICAS (Thomas Butts)
1.    Exercícios de reconhecimento
2.    Exercícios Algoritmos
3.    Problemas de Aplicação
4.    Problemas em Aberto
5.    Situação problema

ETAPAS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Compreender o problema,
Elaborar um plano ( montar 01 estratégia),
Executar um plano,
Fazer a verificação ou retrospecto.



PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 02 – A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO

Resumo elaborado por Raquel Maschetti

**Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático

O que é Número: Um número é a classe formada por todos os conjuntos que têm a mesma propriedade numérica.

O que é Classificação: é juntar por semelhanças e separar por diferenças.

A classificação engloba a pertinência e inclusão.

Pertinência: É a relação estabelecida entre cada elemento e a classe a que ele faz parte.

Inclusão: é a relação que se estabelece entre cada subclasse da qual ela é uma parte.

Seriação (ordem crescente e decrescente): Seriar é ordenar diferenças, estabelecer relações entre elementos que se diferem em certos aspectos.

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DA SERIAÇÃO

Transitividade: Quando se estabelece uma relação entre um elemento de uma série e o seguinte, e deste com o posterior, pode-se deduzir a relação entre o primeiro e o último elemento dessa série.

Reciprocidade: Propriedade na qual cada elemento de uma série, tem uma relação tal com o elemento imediato que, ao inverter a ordem da comparação, tal relação também se inverte.

Classificação: Fundamenta-se nas suas propriedades qualitativas.

Correspondência: Equivalência numérica; Correspondência biunívoca ou termo a termo. É a operação por meio da qual se estabelece uma relação um  a um entre elementos de dois ou mais conjuntos, com a intenção de comprá-los quantitativamente.
Ex.:  PESSOA         CARRO

A utilidade do número está ligada a cordialidade e a ordinalidade.

Ordinalidade: posição em que se encontra na série

Crianças formando o conceito de número – Três Etapas da criança:
1ª – A criança se expressa de forma oral;
2ª – A criança descobre as regras da sucessão oral e escrita;
3ª – Começam a construir agrupamentos de 10, as regras do sistema posicional de numeração e valor posicional.


Leitura Complementar:

Construção do Número
Jean Piaget (1896-1980) investigou como se processa a construção do conceito de número de forma experimental. Em sua teoria determinou quatro períodos do desenvolvimento do pensamento da criança:
Período Idade aproximada
Sensório-motor 0 a 2 anos
Pré-operacional 2 a 7 anos
Operações concretas 7 a 12 anos
Operatório-formal 12 a 16nos
O período pré-operacional corresponde a um período pré-numérico, pré-operatório, ou seja, puramente intuitivo.
Significa que a criança só percebe os fatos através dos sentidos, a partir de manipulações práticas.
O aparecimento da função simbólica permite à criança ter uma representação mental dos objetos e das coisas do ambiente, o que lhe possibilita fazer classificações.
Neste período, a criança classifica quando separa ou agrupa objetos por suas semelhanças ou diferenças, estabelecendo assim, relações das coisas do ambiente em que vive.
A classificação e a seriação são operações lógicas que têm estreita relação com a conservação numérica e favorecem a formação do conceito de número.
A criança tem condições de construir o conceito de número no período das operações concretas, pois é nesta fase que ela se apropria de vários esquemas de conservação.
O número, segundo Piaget, é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos: ordem e inclusão hierárquica.
Ordem é a relação que a criança elabora ao contar um determinado número de elementos, sem saltar ou repetir algum.
Inclusão hierárquica é a relação que permite à criança a quantificação dos objetos como um grupo, ou seja, ao lhe pedirmos que nos mostre 8 objetos, arranjados numa relação ordenada, ela nos apontará para o grupo todo e não apenas para o último.
Entre 7 e 8 anos de idade, o número de relações que a criança estabelece permite lhe a mobilidade do pensamento de forma a torná-lo reversível. A reversibilidade se refere à habilidade de realizar, mentalmente, ações opostas simultaneamente, isto é, separar o todo das partes e reuni-las novamente no todo. Assim, a criança compreende que uma ação inversa anula a transformação observada.
Na aquisição do conceito de número, destacam-se quatro noções básicas:
classificação, seriação, correspondência biunívoca e conservação da quantidade.

Classificar é agrupar segundo um critério. Podemos classificar figuras geométricas (cor, forma, tamanho), utensílios de cozinha (utilidade), livros de história (gênero), animais (espécie), frutas (tipo), secos e molhados, insetos, figurinhas, materiais escolares, botões (número de furos, tamanho, cor), enfim, tudo aquilo que for da vivência da criança.

Seriar significa colocar em série, em ordem, ordenar. Podemos seriar com materiais diversos, tais como: blocos lógicos, botões, palitos, tampinhas e com os próprios alunos, estabelecendo relações do tipo: maior que, menor que, mais pesado que, menos pesado que, mais que, menos que. Seriar conforme a cor, do mais claro ao mais escuro, fazer seqüências lógicas em cartões (histórias), seqüências de posições e de atividades.

Correspondência biunívoca é a correspondência também chamada um a um, ou seja, cada elemento do primeiro conjunto deverá corresponder a um e somente um elemento do segundo conjunto que também será esgotado. Podemos fazer correspondência com bonecas e camas, xícaras e pires, meninos e bonés, bonecas e vestidos, cães e ossos, cartazes com encaixes para figuras.
Conservação da quantidade: a criança conserva a quantidade no momento em que ela reconhece que o número de elementos de um conjunto não varia, quaisquer que sejam as maneiras como se agrupam esses elementos.Podemos organizar duas fileiras de botões, tampinhas, bolinhas, fazendo a correspondência termo a termo. Após, modifica-se
a disposição dos mesmos e questionamos a criança perguntando se nas duas fileiras tem a mesma quantidade.
Texto pesquisado e elaborado pelas assessoras pedagógicas: Adriana Zini, Marinês Feiten da Silva e Teresinha Manica Salvador - SMED/2005

Bibliografia:
RANGEL, Ana Cristina S. Educação Matemática e a Construção do Número Pela Criança.-Porto Alegre: Artes
Médicas.
FARIA, Anália Rodrigues de. O Desenvolvimento da Criança e do Adolescente Segundo Piaget.-São Paulo:
Ática, 1993.
BORTOLOTTO, Ângela Gomes. Matemática de 1ª a 4ª séries: uma abordagem metodológica/ Ângela Gomes
Bortolotto e Marlês Stela Sebbem Andreazza.- Caxias do Sul: EDUCS, 1988.
GRASSESCHI, Maria Cecília C. PROMAT, 1: projeto oficina de matemática.- São Paulo: FTD, 1995.
Revista Nova Escola nº 89 de Novembro de 1995.


PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 03 – CONHECIMENTO LÓGICO MATEMÁTICO

Resumo elaborado por Margareth  Reboledo

O conhecimento é adquirido através da ação e construção, de dentro para fora e, de acordo com Piaget, esse conhecimento não se dá por transmissão social.

São 3 tipos de conhecimento:

- Conhecimento físico – refere-se a objetos, seu peso e cor, além de sua observação (como cai, como desliza...)

- Conhecimento social – de natureza arbitrária (segundo Piaget), é o conhecimento transmitido pela cultura e de geração em geração.

- Conhecimento lógico-matemático – para Piaget, consiste em relações criadas pelo sujeito (ex. quando se percebe a ≠ e/e cores de objetos idênticos) e deriva de ações sobre o mundo, dependendo inicialmente da manipulação de objetos. Piaget descreveu o desenvolvimento cognitivo em termos lógico-matemáticos (através de método clínico e crítico).

Processos de desenvolvimento (Piaget) – assimilação, adaptação, acomodação e equilibração. Etapas que as pessoas passam durante seu desenvolvimento cognitivo.

Abstração:
- Abstração empírica ou simples –abstração da cor ou da forma. Quando a criança se concentras em uma propriedade do objeto, ignora os outros.
- Abstração reflexiva – abstração dos números, envolve a relação e/e objetos. Não se manifesta independente da abstração empírica no período sensório-motor e pré-operacional.

Jogo
O jogo é uma vantagem para o conhecimento lógico matemático; pois:
- Propicia diversificação na abordagem de vários assuntos;
- Estimula o pensamento;
- Promove socialização através do uso das regras;
- Permite avanços na construção dos números (comparação, ordenação, identificação);
- Registro de pontos, de forma a organizar e elaborar o conhecimento.

Blocos lógicos:
Compostos por: 12 formas quadradas, 12 retangulares, 12 triangulares e 12 circulares; nas cores amarelo, azul, vermelha e azul.


PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 04 – O DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Resumo elaborado por Raquel Maschetti
Pré história dos números:

O homem não sabia contar como hoje ele apenas usava artifícios de contagem, como por exemplo, nos, pedras, etc., eles contavam, por exemplo, para cada vaca uma pedra e assim por diante.
- A correspondência termo a termo auxilia na contagem.
Na antiguidade o homem não possuía a visão atual dos números, eles usam como vimos pedras, conchas e etc., porem para chegar a números relativamente altos eles utilizavam partes do corpo e pele de animais que, numa combinação, expressavam números maiores.

A invenção da base: com a distinção entre o número cardinal e ordinal que o homem fez a abstração do números.

Base 10: Quando o homem percebeu que não era possível representar grandes números usando pedras, conchas, as partes do corpo, surge então a idéia de agrupamentos de quantidades  e surge então, a idéia de bases, uma forma mais fácil de representar os números.
a base é o que determina a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo em um sistema de numeração posicional, isto é, onde o valor de cada símbolo é determinado pela sua posição no número. Atualmente usamos o sistema de numeração indo-arabico, de dez em dez.
Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem a contar unidades, dezenas, centenas, etc.

TEXTO COMPLEMENTAR:

TIPOS DE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: Sistemas de numeração podem ser divididos em 2 grupos: os sistemas nãoposicionais e os sistemas posicionais.

SISTEMAS NÃO-POSICIONAIS:
São aqueles em que o valor atribuído a um símbolo não se altera, independentemente da posição em que ele se encontre no conjunto de símbolos que está representando um número. Um exemplo de sistema não-posicional é o sistema de numeração romano. Neste sistema temos os símbolos I, V, X, L, C, D e M. Em qualquer posição dentro de um conjunto destes símbolos, eles não alteram seus valores (I _ 1, V _ 5, X _ 10, L _ 50, C _ 100 e M _ 1000).
No sistema de numeração romano antigo por exemplo (onde o número 4 era representado por IIII), a posição do símbolo tinha sempre o mesmo significado, ou seja o número 1.469 era representado como MCCCCLXVIIII. Esta forma era somente por conveniência pois ele também poderia ser representado como CMCCLCIIXVII.
Já no sistema romano “moderno”, o que se altera é a sua utilização para a definição da quantidade representada (porém individualmente eles continuam representando a mesma quantidade), a partir das regras definidas pelo sistema:
· Cada símbolo colocado à direita de um maior é adicionado a este.
Ex.: XI _ 10 + 1 = 11;

· Cada símbolo colocado à esquerda de um maior tem o seu valor subtraído deste.
Ex.: IX _ 10 – 1 = 9;

Assim, o número XXI representa 21 em decimal (10 + 10 + 1), enquanto que XIX
representa 19 (10 + 10 – 1).

SISTEMAS POSICIONAIS
São aqueles em que o valor atribuído a um símbolo depende da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que está representando um número. O exemplo típico de sistema posicional é o sistema de numeração decimal. Neste sistema, por exemplo, o símbolo 5 pode representar o valor 5, o valor 50, como em 57 (50 + 7), o valor 500, como em 503 (500 + 3), e assim por diante. Isto é, a regra válida para o sistema decimal é que quanto mais à esquerda do número o símbolo está, mais ele vale. Na verdade, a cada posição mais à esquerda, o símbolo vale 10 vezes mais.


O APARECIMENTO DO ZERO: as civilizações babilônicas, chinesa, maia e hindu, descobriram o principio de posição e forma as primeiras da historia que puderam representar um numero qualquer. As civilizações babilônicas e maia só utilizavam o zero para representar a ausência das unidades de uma ordem. Assim o zero foi instituído para representar a “quantidade nula”, só como algarismo.

PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 05 – DISCUSSÃO DE PROCESSOS E DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DO ALGORITIMO DE ALGUMAS OPERAÇÕES FUNDAMENTIAS

Resumo elaborado por Raquel Maschetti

Esta aula nada mais é do que uma passagem histórica sobre métodos de operações fundamentais.
Foi a partir de 1600 que o sistema de numeração que conhecemos hoje passou a ser oficial, até então operávamos com algarismos romanos, exemplo: ábaco.
Veja apostila para verificar os exemplos de cada método a partir da página 68.


PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 06 – IDEIAS DAS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTIAS

Resumo elaborado por Vera Guimarães

O trabalho das quatro operações fundamentais, nos anos iniciais deve privilegiar os diferentes significados de cada uma delas, e as relações entre as mesmas. São de "juntar e acrescentar".

Exemplos 01: Marcelo tem 20 figurinhas e seu irmão Marcos têm  13.
                        Quantas figurinhas possuem os dois juntos?


Exemplos 02: Vinicius têm 15 figurinhas e vai jogar com seu irmão. Se ele ganhar 8 nesse jogo, com quantas figurinhas ficará?

Nessas duas situações é possível identificar a diferença entre a idéia de juntar e a idéia de acrescentar.  
              
IDEIAS DE SUBTRAÇÃO:
Para a criança a operação de subtração é  mais complexa do que a  idéia de adição.
Ela envolve idéias bastante diferentes de:
- ideia de tirar
- ideia de comparar
- ideia de completar

Vejamos os três problemas que seguem:

1-  Em uma festa estavam 23 pessoas e 13 foram embora, quantas pessoas ainda restam nessa festa?

2- Meu irmão têm 32 reais e eu tenho 12. Quantos reais meu irmão têm a mais do que eu?
   
3- Para preencher seu álbum, Vera precisa de 45 figurinhas. Ela já têm 12. Quantas figurinhas faltam para que seu álbum fique preenchido?

O primeiro problema envolve a idéia de tirar, o segundo compara duas quantidades de objetos de mesma espécie, e o terceiro problema apresenta a idéia de completar.


IDEIAS DE MULTIPLICAÇÃO:


A operação ou multiplicação envolve duas ideias básicas:  a soma de parcelas iguais e a idéia de "combinatória"

1- Um carro possui quatro rodas. Quantas rodas possuem três carros semelhantes ao primeiro?


2- Tânia possui três saias e quatro blusas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

O primeiro problema envolve a idéia de soma de parcelas iguais.
4+ 4+4 = 12   o que equivale  3 . 4 = 12
O segundo problema envolve a idéia de "combinatória". Cada saia combinará com uma blusa.
3. 4 = 12  maneiras diferentes

É fundamental que o professor não se esqueça que a multiplicação oferece a criança um contato com a proporcionalidade, uma das idéias mais importantes da Matemática.


IDEIA DE DIVISÃO:

A operação de divisão envolve duas ideias distintas: a de repartir e medir

1- Maria tem 20 reais e quer repartir essa quantia entre seus cinco sobrinhos.

    Quantos reais receberá cada sobrinho?


2- A professora Nair quer formar grupos de cinco alunos com os seus 20 alunos.
    Quantos grupos ela conseguirá formar?


   O primeiro envolve a ideia de repartir igualmente e o segundo de medir:quantas vezes a quantidade de 5 cabe em 20?


    O procedimento para desenvolver a ideia presente em cada um dos problemas é bem diferente.


    Problema 1  Para resolver essa questão, a criança pode distribuir aos sobrinhos de Maria, um a um, cada real da quantidade
    total. A resposta da questão será a quantidade que cada um dos sobrinhos receber.

    Problema 2  Nesse caso, a resolução pode ser encaminhada formando grupos de cinco alunos.

   
Quando todos os alunos forem reagrupados conta-se o número de grupos formados.Essas duas ideias presentes em dois dos metodos de divisão.



20: 5       2 dezenas divididas em 5 partes iguais resultam em 4 unidades em cada parte.

******IDEIAS DAS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. (outro resumo)

IDEIAS DE JUNTAR E ACRESCENTAR
EX. 3+4

IDEIA DE  JUNTAR***A CRIANÇA COLOCARA 3 DEDOS EM  UMA MÃO E 4 DEDOS EM OUTRA MÃO... E CONTA SEQUENTEMENTE..1,2,3,4,5,6,7, QUANDO ELA OLHA PRAS DUAS MÃOS JUNTAS E CONTA...ESSA É A IDEIA DE JUNTAR AS QUANTIDADES.

IDÉIA DE ACRESCENTAR***UMA SEGUNDA CRIANÇA FARIA O SEGUINTE, PENSARIA O NUMERO 3* NA CABEÇA E CONTINUARIA ACRESCENTANDO MAIS 4 DEDOS E CONTINUARIA A CONTAR..4,5,6,7,  ESSE EXEMPLO É O DE ACRESCENTAR.

PROBLEMAS

1-HÁ 12 PASSAROS EM UMA ARVORE E 8 EM OUTRA.QUANTOS PÁSSAROS TEMOS NAS DUAS ÁRVORES JUNTAS.

(=EXEMPLO DA PRIMEIRA CRIANÇA)

2- NO GALHO DE UMA ÁRVORE ESTÃO POUSADOS 12 PÁSSAROS. SE CHEGAREM MAIS 8 PÁSSAROS NESSE GALHO, QUANTOS TERMOS NO TOTAL.

(=EXEMPLO DA SEGUNDA CRIANÇA)


OBS***O PRIMEIRO PROBLEMA JUNTA AS DUAS QUANTIDADES JÁ COLOCADAS, A IDÉIA DELE É DE JUNTAR.


OBS***O SEGUNDO PROBLEMA, ACRESCENTA UMA QUANTIDADE A OUTRA JÁ COLOCADA, TEMOS AÍ A IDÉIA DE ACRESCENTAR.

(ESSAS IDÉIAS SÃO MUITO SUTÍL.)

ADIÇÃO (BHASKARA)SEC XII USAVA PONTOS PARA REPRESENTAR OS ZEROS.

   155+298

8+5=13 (13), SOMAS DAS UNIDADES

5+9=13(14),SOMA DA DEZENAS

1+2=3...(3),SOMA DA CENTENAS


453             (453),SOMA TOTAL



O METODO CRIVO É UTILIZADO NA INDIA INICIAVA-SE DA ESQUERDA PARA A DIREITA SENDO QUE OS RESULTADOS OBTIDOS ERAM ESCRITOS ACIMA.
155+298


4           45

3                34     343
155           155     155    453

298            298    298

PEARSON(APUD KAMIL)1995 ESSE METODO SE APROXIMA DO ALGORITMO DA ADIÇÃO QUE UTILIZAMOS NOS DIAS DE HOJE.
1 5 5                                                       155
2 9 8+                                                  + 298
¨¨¨¨¨                                                      ¨¨¨¨¨¨¨¨
3 14 13                                                 3 (PARA 100+200)
4 5 3                                                     14(PARA90+50)
                                                             +13 (PARA 5+8)
                                                            ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
                                                            453

MULTIPLICAÇÃO
OS EGPICIOS POR VOLTA DE 1650 DC.USAVAM O METODO DE DOBRAR
17X13=221
1X13=13
2X13=26
4X13=52
8X13=104
16X13=208
17X13=ENTAO FAZEMOS 208+13=221


BASKARA SEC XII

24 X 35  =   (6+6+6+6) X 35 = 210+210+210+210 = 840
ESSE METODO UTILIZA A DECOMPOSIÇÃO DO MULTIPLICADOR EM FATORES, NO CASO ANTERIOR  6X 4 =24
EX.(6X35(=(210).....6X35...6X35...6X35.....= 840


PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 09 – A CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO

Resumo elaborado por Paty Zozzenon
A geometria foi muito influenciada, pelos gregos e principalmente pela natureza.
Nascimento da geometria - vem da necessidade de medir a terra.
Geometria do grego: geo- terra; metria – medida
                                           A geometria na escola

Uma forma de trabalhar com a geometria na escola é utilizando o tangram:
Possui 7 peças, e Tb é conhecido pelos chineses como 7 peças da sabedoria.
A geometria desenvolve o senso espacial, dando capacidade de comparar, classificar, identificar, e descrever figuras geométricas.
Tb desenvolve e encoraja a resolução de problemas, auxilia a construção do conhecimento matemático. Perceber, descrever, construir, reconstruir, identificar, observar formas.
Objetivo do ensino da geometria: ajudar a criança a adquirir habilidades. A criança que tem um pensamento geométrico bem desenvolvido tem maior facilidade com mapas.

Os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico são:

Visual: não classifica, vai mais pelas aparências; reconhecimento da figura pelas suas semelhanças e diferenças físicas.

Desenvolvimento analítico: diferencia as propriedades e analisá-las.

Dedução informal: estabelece relações e implicações entre as figuras, tem argumentação lógica informal e ordenação de classe e figuras geométricas.

Dedução formal: domínio do processo dedutivo e de demonstração realiza demonstrações formais e descobre novas propriedades.

Rigor: a criança compreende a abstração geométrica, não euclidiana, compara sistemas, desenvolve sistemas axiomáticos e relações mais complexas.
                           
 Contribuições de Piaget

Primeira fase – as primeiras propriedades que a crianças observam são as de natureza topológica: aberto, dentro, fora, longe, próximo etc.
Segunda fase – a seguir por volta de 5 ou 6 anos, a criança passa a observar as propriedades de ordem projetiva: antes de, depois de, o último, o primeiro, etc.
Terceira fase- por volta dos 7 anos a criança passa a perceber que está entre a direita, ou à esquerda; nessa fase as formas dos objetos são melhor definidas por ela.
Quarta fase- As dimensões dos objetos, como medidas de ângulos, começam a interessar a criança a partir dos 9 ou 10 anos.
                                  Varias formas geométricas
Geometria Euclidiana- refere-se as transformações que somente mudam a posição do objeto. Ex: a figura não muda de dimensão e sim de posição.
Geometria projetiva – Tb chamada de geometria das sombras, e Tb propriedades espaciais. Ex. podemos ver um triangulo, como um trapézio.
Geometria topológica – as figuras são submetidas a transformações violentas que as levam a perder suas propriedades métricas e projetivas. Ex. qd vemos um balão vazio, e depois cheio de ar.


PEDAGOGIA PELA UNICID MÓDULO- 07
FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
AULA 10 – SENTIDO DAS MEDIDAS
Resumo elaborado por Paty Zozzenon


As crianças começam a medir desde muito cedo, qd comparam sua altura com outra criança.
Medir – comparar grandeza de medidas.
                                                             
Grande ou pequeno
Inferência transitiva:
 Se x é igual a y
e y é igual a z
então x é igual a z
pode ser usada em objetos de medida igual ou diferente.


Compreensão de unidades

Pode usar varias formas para medir; mas é preciso que as dimensões não se modifiquem. Ex. qd. Medimos com o palmo das mãos; varia, pois nem todos os palmos de mão são iguais.

                       As medidas:
 Centímetro
Metro
Milímetro

Quando medimos procuramos um numero, para saber a quantidade de números que cabem naquele objeto.

                                       O processo de medir

Primeiro: escolher o objeto para funcionar como unidade de medida.

Segundo: verificar quantas vezes a unidade de medida escolhida cabe no objeto a ser medido.

Terceiro: tentar encontrar um numero que possa expressar o resultado da medição.

Unidade de medida utilizada pelo homem ao longo do tempo:
Braça
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Passo
Essas medidas são utilizadas com referencia ao cm, para ficar uniforme.

Metro medida padrão

Academia de Ciências francesa criou o metro em 1.799; ele é definido como a quarta parte do meridiano terrestre, dividido em 10 milhões de partes iguais.
Ou seja:
1 Metro equivale a       ______1________       do arco
                                          10.000.000

Corresponde a 90º

Essa medida foi gravada em uma barra de platina, e é usada universalmente.

Apartir do metro temos outras medidas:

Quilometro (KM) 1.000 metros
Hectômetro (HM) 100 metros
Decâmetro (dam ) 10 metros

São chamados múltiplos do metro.
O mais conhecido é o quilometro.

Decímetro (DM) um décimo do metro (0,1) metro
Centímetro (cm) um centésimo do metro (0,01) metro
Milímetro (mm) um milésimo do metro (0, 001) metro

                                










  Padrões de medida para área e volume


1 metro quadrado


Volume cubo 1 metro cúbico





   Grandezas mensuráveis

Quando é possível definir a soma de dois valores de uma mesma grandeza.
As grandezas mensuráveis mais usadas são:

Comprimento
Superfície
Volume
Massa


Grandezas não mensuráveis

Temperatura
Tempo
Fundamentos da matem.. AULA (15)

Online (n2) 3. Os problemas de adição podem apresentar duas ideias,


juntar e completar.
juntar e retirar.
juntar e acrescentar.correta
acrescentar e comparar.




**** RESUMO

 *FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO MATEMATICA*

AULA 11 

AREA DO PERIMETRO


                                AREA DO PERIMETRO


como calcular área.


Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado. Exemplo: O lado de um quadrado mede 8 cm.

A = L x L
 A= 8×8
 A= 64 cm

Perímetro

Perímetro é a soma dos lados de uma figura. Ainda usando as medidas do exemplo acima, vamos calcular qual é o perímetro de um quadrado.

P= L + L + L + L = 4xL
 P= 4×8
 P= 32

Portanto, o perímetro do quadrado do exemplo é 32 cm e área é 64 cm.

Eves ressalta que, provavelmente que a Geometria originou-se de observações simples que possibilitam conhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos. O mesmo autor destaca ainda que a noção de distancia deve ter sido um dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos pelos homens primitivos.
 Howard Whitley Eves (10 de janeiro de 1911 - 6 de junho de 2004) foi um matemático estadunidense, especializado em geometria e história da matemática.

(Eves, 2002). Dando maior ênfase à área da álgebra abstrata, esta definição que foi proposta em 1939 e pode ser expressa por:
Sejam A e B dois conjuntos, uma relação entre uma variável de x A, e uma variável y B é dita relação funcional se qualquer que seja x A, existe um único elemento y de B, que esteja na relação considerada1.
Carl Benjamin Boyer, Carl B. Boyer, ou apenas Carl Boyer (nascido em 3 de novembro de 1906, falecido em 26 de abril de 1976) foi um matemático e historiador da Matemática norte americano que possui uma obra máxima, chamada História da Matemática. Ela foi editada na década de 1960 .
Boyer(1996) relata que Heródoto subestimou a idade da geometria e acreditava que ela teria surgido da necessidade pratica de fazer novas medidas de terra após as inundações no vale do rio Nilo, e essa necessidade fez com que aparecessem os *mensuradores*.

 Segundo Boyer (1996 apud CARVALHO, 2005, p.14), “no século XVII, Galileu Galilei disse que a Matemática era a linguagem da natureza e o seu alfabeto eram os círculos, triângulos e demais figuras geométricas euclidianas (...)”. Contudo a natureza é dotada de formas complexas, seja na estrutura do átomo, na formação de nuvens, sejam nos recortes geográficos das linhas costeiras, nas efêmeras imagens abstraídas das montanhas, dentre
outras, as quais a Geometria Euclidiana
O conceito de área e perímetro surgiu por causa da medição de terra.
 Eves (2000) levou a noção de,figuras geometrica tais como quadrado, triangulo, retângulo,as antiguidades descobriram cálculos de área de varias figuras.

Baldini (2003)  exemplo do agricultor, precisa estimar a área do terreno, o imposto Predial e territorial Urbano(IPTU).cobrado a area do terreno e area construída.*construção civil usa-se cálculos de área, perímetro,etc.

Segundo Bellemain e Lima, esses altores relatam, ainda que existem três propriedade julgadas essenciais para caracterizar a grandeza área que são. 1-positividade 2-Aditividade 3-Invariancia por isometrias
* positividade - se uma figura que possua interior não vazio tem área positiva; aditividade – se duas figuras A e B têm em comum no máximo pontos de suas fronteiras, então a área da figura AB (união de A e B) é a soma da área de A com a área de B; invariância por
Isometrias - se uma figura plana A é transformada em outra B, de modo que a distância entre dois pontos quaisquer de A fica inalterada em B, então A e B têm a mesma área.

o triângulo, o quadrado e o retângulo; o quadro numérico, consistindo nas medidas das superfícies, que pertencem ao conjunto dos números reais não negativos e o quadro das grandezas, contexto próprio da noção de área, que integra os dois primeiros, sendo caracterizado, formalmente, como classes de equivalência de superfícies de mesma área. Uma hipótese didática considerada no estudo é a de que, no ensino-aprendizagem do conceito de área, deve-se distinguir e articular os quadros mencionados.

§ Positividade: se A é uma superfície com interior não vazio, então f(A) > 0;   § Aditividade: se as superfícies A e B possuem no máximo pontos de sua fronteira em comum, então f(AB) = f(A) + f(B);


De acordo com o texto dos PCN, o bloco das Grandezas e Medidas:
(c)aracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente
caráter prático e utilitário. (...) As atividades em que as noções
de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor
compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas.
São contextos muito ricos para o trabalho com os significados
dos números e das operações, da idéia de proporcionalidade
e escala, e um campo fértil para uma abordagem histórica”.
(BRASIL, PCN – Matemática, 1ª a 4ª séries, p.56).

§ Invariância por Isometrias: se uma superfície A é transformada em outra superfície B, de maneira que dados dois pontos quaisquer de A, suas distâncias permanecem as mesmas em B, então f(A) = f(B)
Considerar a área como grandeza corresponde a tomar a área como classe de equivalência de superfícies de mesma medida.


atividade solicitava que o aluno mostrasse que as figuras apresentadas no papel quadriculado possuíam a mesma área.

atividades proposta pela pesquisadora em que utiliza como recurso didático a malha quadriculada.
Problema 6:
Se a área de um quadradinho é 1cm², calcule a área da figura: (não esqueça de escrever como chegou na resposta)
Medir e comparar
Medir a área de uma superfície é compara-la a area da outra superfície.
As unidades de área devem se expressar por ...       Centímetro quadrado (cm2) ,metro quadrado (m2), . Quilômetro quadrado (km2): e outros.....

Baltar (1993)classificou as diferenças entre a área e perímetro sob quatro ponto de vista diferentes. Topológico dimensional.
 ·  topológico, segundo o qual os conceitos de área e de perímetro correspondem a objetos
geométricos distintos, a área sendo associada à superfície e o perímetro a seu contorno;
·  dimensional, evidenciando que uma superfície e seu contorno são objetos matemáticos
de naturezas distintas no que diz respeito às dimensões, o que traz conseqüências
imediatas sobre o uso das unidades adaptadas à expressão das medidas de área e
perímetro;
·  computacional, que corresponde à aquisição das fórmulas de área e perímetro de
figuras usuais;A=bxh  perímetro=b+b+h+h=2b+2h


·  variacional, que consiste na aceitação que área e perímetro não variam necessariamente
no mesmo sentido, que superfícies de mesma área podem ter perímetros distintos e
vice-versa.
Outra distinção proposta por Baltar (1996) concerne a natureza das figuras. Com efeito, as
propriedades subjacentes à dissociação das variações de área e perímetro de superfícies
quaisquer, de retângulos e de paralelogramos, por exemplo, não são as mesmas
Área do retângulo*
A= a . b
Transformando as medidas em metros
Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
Transformando as medidas em centímetros

Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
Triângulo
Quadrado
onde: A é área do quadrado, l é o lado.







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